Bevezetés

Mi az S&P 500?

Az S&P 500 egy tőzsdei index, amely az Egyesült Államok 500 legnagyobb, nyilvánosan forgalmazott vállalatának teljesítményét méri. Ezeket a vállalatokat a Standard & Poor’s nevű pénzügyi szolgáltató cég válogatja össze különböző szempontok alapján (pl. piaci kapitalizáció, likviditás, szektorális reprezentáció stb.).

Miből áll az index?

  • 500 komponens részvény: nem pontosan 500 cég, mert egyes cégeknek több részvénysorozata is szerepelhet.
  • Piaci kapitalizációval súlyozott: a nagyobb vállalatok (pl. Apple, Microsoft) nagyobb súllyal szerepelnek benne.
  • Sokszínű szektorális lefedettség:
    • technológia (Apple, NVIDIA)
    • egészségügy (Johnson & Johnson)
    • pénzügyek (JP Morgan Chase)
    • ipar, fogyasztási cikkek, energetika stb.

Története

  • Elindítása: 1957. március 4.
  • Előzmény: a Standard Statistics Company már 1923-ban is készített 90 részvényből álló indexet, de a modern, 500 tagú index 1957-től él.
  • Történelmi jelentőség: az S&P 500 egyfajta “hőmérője” az amerikai (és részben a globális) gazdaság állapotának.

Idősor jellemzői

  1. Nem stacionárius az árszint
  • Az árfolyam hosszú távon növekszik → trend komponens van jelen.
  • Változó volatilitás (volatility clustering) figyelhető meg – ez heteroszkedasztikus viselkedést jelez (pl. GARCH-modellek indokoltak lehetnek).
  1. Loghozam (log return)
  • log(close)
  • A loghozam sor gyakran közelít stacionáriushoz, és ennek a sorozatnak az elemzése révén jobban vizsgálhatók:
    • korrelációk (ACF, PACF)
    • volatilitási mintázatok
  1. Modellezésre alkalmas sor

Hivatkozások

Projekt felépítése és előkészítése

KPSS azt vizsgálja, hogy egy idősor trend-stacionárius-e, vagy nem-stacionárius (azaz egységgyökös). A trend-stacionárius sorban van determinisztikus trend (pl. lineáris növekedés), de a reziduumok stacionáriusak. Ezzel szemben a nem-stacionárius sorban a trend stochasztikus (random séta jelleg).

- Ha a KPSS statisztika nagyobb, mint a kritikus érték → elutasítjuk a stacionaritás hipotézisét.
- Ha kisebb → nem tudjuk elutasítani → a sor trend-stacionárius.
check_stationarity <- function(series) {
  if (!("xts" %in% class(series))) {
    stop("A bemenetnek xts objektumnak kell lennie.")
  }
  
  cat("Stacionaritás vizsgálat loghozamra:\n")
  
  adf_result <- adf.test(series)
  cat("\n--- Augmented Dickey-Fuller teszt ---\n")
  print(adf_result)
  if (adf_result$p.value < 0.05) {
    cat("✅ ADF szerint a sor stacionárius.\n")
  } else {
    cat("❌ ADF szerint a sor nem stacionárius.\n")
  }
  
  kpss_result <- ur.kpss(series)
  cat("\n--- KPSS teszt ---\n")
  print(summary(kpss_result))
  if (kpss_result@teststat > kpss_result@cval[1]) {
    cat("❌ KPSS szerint a sor nem stacionárius.\n")
  } else {
    cat("✅ KPSS szerint a sor stacionárius.\n")
  }
  
  cat("\nℹ️ Javaslat: Ha az egyik teszt szerint nem stacionárius, differenciálni érdemes.\n")
}
- ACF, PACF diagnosztika megjelenítése
visual_stationarity_diagnostics <- function(series, window = 100, name = "Idősor") {
  if (!("xts" %in% class(series))) {
    stop("A bemenetnek xts objektumnak kell lennie.")
  }
  # Alapbeállítások visszaállítása a végén
  old_par <- par(no.readonly = TRUE)
  on.exit(par(old_par))
  
  # Kétsoros ábra
  par(mfrow = c(1, 2), 
      mar = c(4.2, 4.2, 3.5, 1),   # Margók: alul, bal, fent, jobb
      oma = c(0, 0, 2, 0),         # Külső margók a főcímhez
      cex.main = 1.1,              # Főcím méret
      cex.lab = 1,                 # Tengelyfelirat méret
      cex.axis = 0.9)              # Tengelyskála méret
  
  # 1. ACF
  acf(series, main = paste("ACF -", name), lag.max = 30)
  
  # 2 PACF
  pacf(series, main = paste("PACF -", name), lag.max = 30)
}

S&P 500 index lekérése

Alap statisztika

## Átlagos napi loghozam:  8.279554 
## Szórás:  0.21674 
## Ferdeség (skewness):  -0.127 
## Csúcsosság (kurtosis):  -0.758

Stacionáritás, ACF, PACF vizsgálata

## Stacionaritás vizsgálat loghozamra:
## 
## --- Augmented Dickey-Fuller teszt ---
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  series
## Dickey-Fuller = -2.5813, Lag order = 11, p-value = 0.3322
## alternative hypothesis: stationary
## 
## ❌ ADF szerint a sor nem stacionárius.
## 
## --- KPSS teszt ---
## 
## ####################### 
## # KPSS Unit Root Test # 
## ####################### 
## 
## Test is of type: mu with 7 lags. 
## 
## Value of test-statistic is: 15.1809 
## 
## Critical value for a significance level of: 
##                 10pct  5pct 2.5pct  1pct
## critical values 0.347 0.463  0.574 0.739
## 
## ❌ KPSS szerint a sor nem stacionárius.
## 
## ℹ️ Javaslat: Ha az egyik teszt szerint nem stacionárius, differenciálni érdemes.

S&P 500 Differenciálás

diff_log_returns <- make_diff_series(data$log_return)

S&P 500 Differenciált Stacionáritás, ACF, PACF vizsgálata

## Stacionaritás vizsgálat loghozamra:
## Warning in adf.test(series): p-value smaller than printed p-value
## 
## --- Augmented Dickey-Fuller teszt ---
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  series
## Dickey-Fuller = -10.714, Lag order = 11, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
## 
## ✅ ADF szerint a sor stacionárius.
## 
## --- KPSS teszt ---
## 
## ####################### 
## # KPSS Unit Root Test # 
## ####################### 
## 
## Test is of type: mu with 7 lags. 
## 
## Value of test-statistic is: 0.0594 
## 
## Critical value for a significance level of: 
##                 10pct  5pct 2.5pct  1pct
## critical values 0.347 0.463  0.574 0.739
## 
## ✅ KPSS szerint a sor stacionárius.
## 
## ℹ️ Javaslat: Ha az egyik teszt szerint nem stacionárius, differenciálni érdemes.

Modellezési segédlet: ARIMA modellek, ACF és PACF

ARIMA modell komponensei

Az ARIMA modell három komponensből áll: - AR (p): autoregresszív tag — a sor saját elmúlt értékein alapul - I (d): integrált tag — hányadik differenciálás szükséges a stacionaritáshoz - MA (q): mozgóátlag tag — hibatagok elmúlt értékein alapul

ACF (Autokorrelációs függvény)

Az ACF megmutatja, hogy az idősor aktuális értéke milyen mértékben korrelál a korábbi értékekkel (lag-ekkel).

  • Ha csak az 1. lag szignifikáns, utána gyors levágás: valószínű MA(1) komponens → ARIMA(0,d,1)
  • Ha lassú lecsengés: valószínű AR komponens → ARIMA(p,d,0)
  • Ha sem ACF, sem PACF nem vág le gyorsan: kombinált ARMA modell valószínű → ARIMA(p,d,q)

PACF (Parciális autokorreláció)

A PACF azt méri, hogy egy adott lag mekkora hatással van a jelenre, ha a köztes lag-ek hatását kiszűrjük.

  • Ha a PACF levág az 1. lag után (csak az 1. lag szignifikáns): valószínű AR(1) modell
  • Ha PACF lassan csökken: nem elég egy alacsony rendű AR komponens (lehet AR(2), AR(3))
  • Ha több PACF lag szignifikáns, de ACF gyorsan levág: ARIMA(p,d,1) típusú modell valószínű

Modellillesztés

fit1 <- Arima(diff_log_returns, order = c(2, 0, 1))
fit2 <- Arima(diff_log_returns, order = c(3, 0, 1))

summary(fit1)
## Series: diff_log_returns 
## ARIMA(2,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1     ar2      ma1   mean
##       -0.1274  0.0981  -0.0308  6e-04
## s.e.   0.1740  0.0389   0.1737  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001562:  log likelihood = 4473.32
## AIC=-8936.63   AICc=-8936.59   BIC=-8910.04
## 
## Training set error measures:
##                         ME       RMSE         MAE      MPE    MAPE      MASE
## Training set -2.812685e-06 0.01248311 0.008346342 121.2745 170.708 0.6823342
##                      ACF1
## Training set 0.0003934224
summary(fit2)
## Series: diff_log_returns 
## ARIMA(3,0,1) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1     ar2      ar3      ma1   mean
##       0.4451  0.1846  -0.0753  -0.6015  6e-04
## s.e.  0.2845  0.0535   0.0332   0.2841  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001563:  log likelihood = 4473.75
## AIC=-8935.51   AICc=-8935.45   BIC=-8903.59
## 
## Training set error measures:
##                         ME       RMSE         MAE      MPE     MAPE      MASE
## Training set -2.329628e-06 0.01247948 0.008340478 115.8807 165.6071 0.6818548
##                     ACF1
## Training set -0.00271077

AIC alacsonyabb → jobb illeszkedés a bonyolultsággal együtt.

## fit1 =  -8936.632
## fit2 =  -8935.508

Residual diagnosztika: checkresiduals()

  1. Felső grafikon: reziduum idősora
  • A reziduumok nem fehér zajként viselkednek,
  • Lokális volatilitásugrások és tüske szerű kilengések figyelhetők meg
  • → Volatilitási klaszterezés, ami GARCH-típusú modell használatát indokolhatja
  1. Bal alsó grafikon: ACF a reziduumokon
  • Több lag szignifikáns (pl. 2. és 10.)
  • → az ARIMA modell nem eliminálta teljesen az autokorrelációt
  1. Jobb alsó grafikon: hisztogram
  • A reziduumok eloszlása nem normális
  • Leptokurtikus, csúcspontja magasabb
  • → t-eloszlás jobban illene, vagy robusztusabb modell
  1. Ljung–Box teszt
  • A p-érték nagyon kicsi
  • → elutasítjuk a fehér zaj nullhipotézist
  • → az ARIMA(3,0,1) modell nem megfelelő, mivel maradt strukturális információ a hibákban

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,0,1) with non-zero mean
## Q* = 95.585, df = 7, p-value < 2.2e-16
## 
## Model df: 3.   Total lags used: 10
## 'log Lik.' 4473.316 (df=5)
## [1] -8910.036

Modell finomhangolása

fit3 <- Arima(diff_log_returns, order = c(2, 0, 2))
fit4 <- Arima(diff_log_returns, order = c(3, 0, 2))
fit5 <- Arima(diff_log_returns, order = c(4, 0, 2))
Modell AIC BIC σ² LLF RMSE MAE ACF1
ARIMA(2,0,2) -9553.86 ✅ -9521.55 ✅ 0.0001555 ✅ 4782.93 0.01245 ✅ 0.00843 ✅ 0.01819
ARIMA(3,0,2) -9482.92 -9445.22 0.0001624 4748.46 0.01272 0.00846 0.00203
ARIMA(4,0,2) -9551.06 -9507.98 0.0001555 4783.53 ✅ 0.01244 0.00843 0.000046 ✅ 
## Series: diff_log_returns 
## ARIMA(2,0,2) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     ma1     ma2   mean
##       -1.7429  -0.8804  1.6228  0.7332  6e-04
## s.e.   0.0264   0.0261  0.0375  0.0368  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001471:  log likelihood = 4518.85
## AIC=-9025.71   AICc=-9025.65   BIC=-8993.79
## 
## Training set error measures:
##                         ME       RMSE         MAE      MPE     MAPE     MASE
## Training set -2.592903e-06 0.01211035 0.008287736 120.8726 185.2746 0.677543
##                    ACF1
## Training set 0.01957427
## Series: diff_log_returns 
## ARIMA(3,0,2) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##          ar1      ar2      ar3      ma1     ma2   mean
##       0.8217  -0.3434  -0.1826  -0.9845  0.5935  6e-04
## s.e.  0.1772   0.1368   0.0323   0.1788  0.1399  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001557:  log likelihood = 4476.75
## AIC=-8939.5   AICc=-8939.43   BIC=-8902.27
## 
## Training set error measures:
##                         ME       RMSE         MAE      MPE     MAPE      MASE
## Training set -3.369299e-06 0.01245461 0.008349034 117.1651 180.4543 0.6825542
##                   ACF1
## Training set 0.0026347
## Series: diff_log_returns 
## ARIMA(4,0,2) with non-zero mean 
## 
## Coefficients:
##           ar1      ar2     ar3      ar4     ma1     ma2   mean
##       -1.6679  -0.7854  0.0210  -0.0149  1.5673  0.6866  6e-04
## s.e.   0.0725   0.0844  0.0522   0.0347  0.0679  0.0610  3e-04
## 
## sigma^2 = 0.0001472:  log likelihood = 4519.58
## AIC=-9023.16   AICc=-9023.06   BIC=-8980.6
## 
## Training set error measures:
##                         ME      RMSE         MAE      MPE     MAPE      MASE
## Training set -3.769517e-06 0.0121045 0.008287503 120.3982 184.6049 0.6775239
##                      ACF1
## Training set 0.0006863117

Értelmezés

  1. AIC / BIC
  • A legalacsonyabb AIC és BIC értéket az ARIMA(2,0,2) produkálta → statisztikai illeszkedés szempontjából a legjobb választás.
  • Az ARIMA(4,0,2) nagyon közel van hozzá, de több paramétert használ, tehát komplexebb modell, ami BIC-ben hátrányt jelent.
  1. Log-likelihood
  • Az ARIMA(4,0,2) log-likelihood értéke a legmagasabb → jobb nyers illeszkedés, de több paraméter miatt ez önmagában nem döntő.
  1. RMSE / MAE
  • RMSE-ben és MAE-ben ARIMA(2,0,2) és (4,0,2) szinte azonos teljesítményt mutatnak.
  • A különbség elhanyagolható, tehát nem indokolt a komplexitás növelése.
  1. ACF1 (reziduum autokorreláció első lagje)
  • Az ARIMA(4,0,2) ACF1 értéke a legkisebb (≈ 0) → a reziduumok leginkább fehér zaj szerűek
  • Az ARIMA(2,0,2) ACF1 ≈ 0.02 → még mindig nagyon jó, de nem tökéletes

## 
##  Ljung-Box test
## 
## data:  Residuals from ARIMA(2,0,2) with non-zero mean
## Q* = 16.06, df = 6, p-value = 0.01343
## 
## Model df: 4.   Total lags used: 10

Empirikus volatilitás (rolling std)

A pénzügyi idősorok (pl. részvényhozamok) volatilitása időben nem állandó. Ennek érzékeltetésére 21 napos gördülő ablakban számítjuk ki a loghozamok szórását, amely egy empirikus becslése a napi volatilitásnak. Az így kapott sorozat jól szemlélteti a piaci turbulencia időbeli változását.

Ez az ábra lehetővé teszi: - volatilitási klaszterek vizsgálatát (pl. válsághelyzetek körül), - a heteroszkedaszticitás vizuális felismerését, - és megalapozza a GARCH-modellek használatát, amelyek a volatilitás időbeli változását formalizálják.

GARCH

Adatok előkészítése

squared_return <- diff_log_returns^2

ACF

Lassú lecsengés, fokozatos csökkenés. GARCH struktúra (GARCH komponens, azaz p ≥ 1).

PACF

GARCH(1,1) Alapmodell, ha gyorsan csökken az ACF GARCH(1,2) Ha PACF-ben több lag is szignifikáns GARCH(2,1) Ha ACF-ben 2–3 lag is jelentős marad GARCH(2,2) Ha mindkét sorozatban több szignifikáns érték látható.

Model illesztés

  • GARCH(1,1)
  • GARCH(1,2)
  • GARCH(2,1)
  • GARCH(2,2)

Modellek összehasonlítása

A legkisebb az ideális választás.

##                       
## Akaike       -6.455461
## Bayes        -6.423736
## Shibata      -6.455531
## Hannan-Quinn -6.443645
##                       
## Akaike       -6.454135
## Bayes        -6.418885
## Shibata      -6.454222
## Hannan-Quinn -6.441007
##                       
## Akaike       -6.454841
## Bayes        -6.419591
## Shibata      -6.454928
## Hannan-Quinn -6.441713
##                       
## Akaike       -6.454540
## Bayes        -6.415765
## Shibata      -6.454645
## Hannan-Quinn -6.440099

Előrejelzés

Az első ábra a GARCH(1,1) modell által előrejelzett napi szórást (volatilitást) mutatja a következő 10 napra: - A volatilitás fokozatosan emelkedik, amely a modell szerint növekvő piaci bizonytalanságot jelez. - A sztochasztikus volatilitás nem állandó: a modell az eddigi klasztereződő viselkedést extrapolálja. - Az előrejelzett volatilitás értéke a vizsgált időszak végére meghaladja a 0.011-es szintet, ami viszonylag nyugodt piaci környezetet jelez, de enyhe emelkedő trenddel.

A második ábra az előrejelzett S&P 500 indexárfolyamot mutatja, a GARCH(1,1) modell által becsült hozamok kumulálásával: - A pálya folyamatos emelkedést mutat, ami a modellbe ágyazott pozitív átlagos loghozam következménye. - A volatilitás emelkedése ellenére az árfolyam-trend stabilan felfelé mutat, ami bullish piaci várakozást tükröz. - Az előrejelzés determinisztikusnak tűnik, de ez a GARCH modell sajátossága: csak a szórás időbeli változását modellezi, nem pedig az árfolyam véletlenszerű alakulását (nincs szimulációs elágazás).

Szezonális

A szezonális vizsgálat célja annak feltárása, hogy az S&P 500 log-árfolyama mutat-e ismétlődő mintázatokat évszakosan – azaz például van-e rendszeres emelkedés vagy csökkenés bizonyos hónapokban.

Kétféle szezonális ábrát készítünk:

  • Szezonális vonaldiagram (év szerint)
  • Szezonális dobozdiagram (hónap szerint)

A ggseasonplot() függvény a forecast csomag része. Egy idősort (itt: log-záróár) évenként színezve jelenít meg úgy, hogy az éven belüli időpontokat (pl. hónapokat) egymás mellé teszi. Ez lehetővé teszi, hogy vizuálisan összehasonlítsuk az egyes évek szezonális mintáit.

A FOMC meeting napjai körüli árfolyamreakció elemzése

A szkript célja, hogy megvizsgálja, hogyan reagáltak az S&P 500 loghozamai a 2022–2023 közötti FOMC kamatdöntések környékén. Minden meeting köré ±10 napos ablakot rajzolunk, majd ezeket összeátlagoljuk. A diagramon látható az átlagos napi hozam a meeting előtt és után, valamint egy ±1 szórású szalag, amely a bizonytalanságot (volatilitást) jelzi.

Eredmények értelmezése

Kimenet neve Jelentése
$n_events 16 → 16 db FOMC meeting dátum szerepel az elemzésben
$n_values 160 → 16 meeting × 10 napos időablak (pl. +1 … +10 nap), összesen 160 loghozam
$sample_mean 0.001016841 → az eseményt követő loghozamok átlaga
$reference_mean 0.000564307 → a vizsgált időszakon kívüli (baseline) átlagos hozam
$t_test egymintás t-próba eredménye, amely azt vizsgálja, hogy az esemény utáni hozamok átlaga szignifikánsan eltér-e a referenciaértéktől (0.0005643)

T-próba eredmény

  • t = 0.4405, df = 159 → a statisztikai próba gyenge
  • p-value = 0.6602 → nem szignifikáns (mert > 0.05)
  • 95%-os konfidenciaintervallum: [−0.00101, 0.00305] → tartalmazza a referenciaértéket
  • Következtetés: nem utasíthatjuk el a nullhipotézist, tehát a loghozam nem tér el szignifikánsan a megszokott értéktől
## $n_events
## [1] 16
## 
## $n_values
## [1] 160
## 
## $sample_mean
## [1] 0.001016841
## 
## $reference_mean
## [1] 0.000564307
## 
## $t_test
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  post_event_returns
## t = 0.4405, df = 159, p-value = 0.6602
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0.000564307
## 95 percent confidence interval:
##  -0.001012097  0.003045779
## sample estimates:
##   mean of x 
## 0.001016841

Volatilitás-változás vizsgálata FOMC események körül

A FOMC eseményeket megelőző és követő időszakok volatilitása statisztikailag nem különbözik egymástól. A változás átlaga gyakorlatilag nulla, és a szórás is túl nagy ahhoz, hogy következtetést vonjunk le. Ez alapján nem tudjuk bizonyítani, hogy a FOMC meetingek volatilitásnövekedést váltanak ki az S&P 500 hozamában.

summary_vol <- event_volatility_analysis(diff_log_returns, fomc_dates, window = 40)

summary_vol_clean <- summary_vol %>% filter(!is.na(VolBefore) & !is.na(VolAfter))

# Párosított t-próba a volatilitásokra
t.test(summary_vol_clean$VolBefore, summary_vol_clean$VolAfter, paired = TRUE)
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  summary_vol_clean$VolBefore and summary_vol_clean$VolAfter
## t = 0.17494, df = 8, p-value = 0.8655
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.002806789  0.003267622
## sample estimates:
## mean difference 
##    0.0002304162

A Non-Farm Payrolls (NFP) adatok eseményhatás-vizsgálata

A Non-Farm Payrolls (NFP) az egyik legfontosabb makrogazdasági mutató az Egyesült Államokban, amely a mezőgazdaságon kívüli szektorokban létrejött új munkahelyek számát mutatja. Ezt a mutatót a U.S. Bureau of Labor Statistics (BLS) teszi közzé minden hónap első péntekén, és a munkaerőpiac állapotára, valamint a gazdaság növekedési ütemére utal.

A pénzügyi piacok számára az NFP adat: - jelentős volatilitás-kiváltó esemény, - közvetlenül befolyásolhatja a kamatvárakozásokat (FED politikáján keresztül), - ezáltal hatást gyakorolhat a részvénypiacokra, kötvénypiacokra és devizaárfolyamokra is.

## $n_events
## [1] 84
## 
## $n_values
## [1] 700
## 
## $sample_mean
## [1] 0.0001058777
## 
## $reference_mean
## [1] 0.000564307
## 
## $t_test
## 
##  One Sample t-test
## 
## data:  post_event_returns
## t = -0.87347, df = 699, p-value = 0.3827
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0.000564307
## 95 percent confidence interval:
##  -0.0009245699  0.0011363253
## sample estimates:
##    mean of x 
## 0.0001058777

Összefoglalás

A 2019 és 2025 között vizsgált 84 NFP publikáció alapján nem figyelhető meg szignifikáns eseményhatás az amerikai részvénypiacon. Az eseményt követő 10 napos loghozamok átlaga nem tért el szignifikánsan a piaci referenciahozamtól. Ez alapján a NFP jelentések nem jártak együtt kiemelkedő árfolyamreakcióval.

Volatilitás-változás vizsgálata Non-Farm Payrolls (NFP) események körül

A 2019–2025 közötti 39 NFP esemény körül végzett volatilitás-elemzés alapján nincs statisztikailag szignifikáns bizonyíték arra, hogy a volatilitás megváltozik ezeken a napokon. Bár az átlagos utólagos volatilitás enyhén alacsonyabb, ez a különbség nem elég nagy vagy konzisztens ahhoz, hogy érdemi következtetést vonjunk le.

summary_vol <- event_volatility_analysis(diff_log_returns, nfp_dates, window = 40)

summary_vol_clean <- summary_vol %>% filter(!is.na(VolBefore) & !is.na(VolAfter))

# Párosított t-próba a volatilitásokra
t.test(summary_vol_clean$VolBefore, summary_vol_clean$VolAfter, paired = TRUE)
## 
##  Paired t-test
## 
## data:  summary_vol_clean$VolBefore and summary_vol_clean$VolAfter
## t = -1.0974, df = 38, p-value = 0.2794
## alternative hypothesis: true mean difference is not equal to 0
## 95 percent confidence interval:
##  -0.009363050  0.002780294
## sample estimates:
## mean difference 
##    -0.003291378